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BAC PRO REMI - Maths - Statistiques à deux variables
Choisir un modèle adapté pour réaliser un ajustement d'un nuage de points associé à une série statistique à deux variables ▼
Prérequis ▼
Activité de rappel - Canicule à Lisieux ▼
Le 25 juin, à Lisieux, on a relevé la température à différentes heures de la journée.
| Heure (h) | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | 20,7 | 23,2 | 27,7 | 32,3 | 35,3 |
Problématique : Si on suit la tendance de ces valeurs, quelle serait la température à 14 h ?
Compréhension du sujet
Estimation de la température à 14 h
Amélioration de l'estimation
Pour être plus précis dans la modélisation, nous allons tester plusieurs modèles :
- Fonctions polynomiales de degré 2 : \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
- Fonctions polynomiales de degré 3 : \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
- Fonctions exponentielles : \( f(x) = ab^x \)
- Fonction logarithme : \( f(x) = a + b\ln(x) \)
Voici les données de températures jusqu'à 13 h.
| Heure (h) | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | 20,7 | 23,2 | 27,7 | 32,3 | 35,3 | 37,6 | 38,4 |
Conclusion
- Pour modéliser un nuage de points, il est important de choisir un modèle adapté.
- Le coefficient de détermination \( R^2 \) permet d'évaluer la qualité d'un ajustement.
- Le coefficient de détermination \( R^2 \) doit être le plus proche possible de 1 pour que l'ajustement soit considéré comme pertinent.
Exercices d'application ▼
Exercice 1 — Questionnaire en ligne
La progression du nombre de personnes ayant répondu à un questionnaire est étudiée auprès d'un échantillon de 1 000 personnes. On considère qu'après 21 jours, le questionnaire est terminé. Le nombre total de personnes ayant répondu en fonction du nombre de jours est donné dans le tableau suivant.
| Jour | 1 | 2 | 7 | 10 | 14 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre total de personnes | 292 | 324 | 387 | 465 | 533 | 656 |
1. Représenter graphiquement cette série statistique sous forme d'un nuage de points à l'aide d'un outil numérique.
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2. Indiquer, en justifiant, si un ajustement affine est envisageable.
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Oui, un ajustement affine est envisageable, car les points semblent alignés. On ajoute que si on fait l'ajustement affine, le \( R^2 \) est : 0,99 donc très proche de 1.
Exercice 2 — Prix d'une voiture
Le prix d'une voiture a évolué en fonction des années de la façon suivante.
| Année | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix en euros | 15 400 | 12 000 | 9 150 | 7 050 | 5 400 | 4 200 | 3 200 | 2 470 | 1 900 | 1 465 |
1. Représenter graphiquement cette série statistique sous forme d'un nuage de points à l'aide d'un outil numérique.
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2. Indiquer, en justifiant, si un ajustement affine est envisageable.
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L'ajustement affine est peu envisageable, car les points ne semblent pas alignés.
3. À l'aide du coefficient de détermination \( R^2 \), choisir l'ajustement le plus pertinent pour cette série entre logarithmique et exponentiel. Arrondir, si besoin, au millième.
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Pour un ajustement logarithmique, la valeur de \( R^2 \) est de 0,99 donc très proche de 1.
Pour un ajustement exponentiel, la valeur de \( R^2 \) est de 0,99 donc aussi proche de 1.
Les deux ajustements sont pertinents ; il faut donc comparer les valeurs de \( R^2 \) au millième près pour choisir.
Exercice 3 — Multiplication de bactéries
Les bactéries se multiplient en se divisant. Le nombre de bactéries évolue en fonction du temps de la façon ci-contre.
| Temps en min | Rang \( x_i \) | Nombre de bactéries \( y_i \) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 20 | 1 | 2 |
| 40 | 2 | 4 |
| 60 | 3 | 8 |
| 80 | 4 | 16 |
| 100 | 5 | 32 |
1. Représenter graphiquement le nombre de bactéries en fonction du rang sous forme d'un nuage de points à l'aide d'un outil numérique.
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2. Montrer que l'équation de l'ajustement de \( y \) en \( x \) le plus pertinent est \( y = 2^x \).
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Si on fait un ajustement exponentiel \( f(x) = ab^x \), on trouve un \( R^2 = 1 \). Le modèle est parfait pour cette situation. On trouve \( a = 1 \) et \( b = 2 \), donc \( f(x) = 2^x \).
3. Déterminer le nombre de bactéries issues d'une seule bactérie au bout de 5 h (rang 15).
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Pour le rang 15 (donc \( x = 15 \)), le nombre de bactéries est : \[ f(15) = 2^{15} = 32\,768 \]